Geometrie: Flächen & Umfang
Ähnlichkeit und Strahlensätze
Lernziele dieser Lektion
- Sie verstehen, wann zwei Figuren ähnlich sind, und kennen den Ähnlichkeitsfaktor k
- Sie wenden die Strahlensätze (erster und zweiter) zur Berechnung unbekannter Längen an
- Sie erkennen, wie sich Flächen und Volumen bei Ähnlichkeit verhalten (k², k³)
- Sie lösen Praxisaufgaben aus Bauwesen, Vermessung und Schattenwurf
Was bedeutet Ähnlichkeit?
In der Umgangssprache heißt "ähnlich" oft nur "sieht so aus wie". In der Mathematik ist Ähnlichkeit dagegen ein präziser Begriff: Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine vergrößerte oder verkleinerte Kopie der anderen ist - Winkel bleiben gleich, Seitenlängen werden alle mit demselben Faktor gestreckt oder gestaucht.
Ähnliche Figuren - Definition
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn gilt:
- alle einander entsprechenden Winkel sind gleich groß
- alle einander entsprechenden Seiten haben dasselbe Längenverhältnis
Die Zahl heißt Ähnlichkeitsfaktor (oder Streckfaktor). Zum Beispiel sind alle Quadrate zueinander ähnlich, ebenso alle Kreise. Rechtecke sind untereinander nicht unbedingt ähnlich, weil ihre Seitenverhältnisse verschieden sein können.
Typische ähnliche Figuren
- Ein Grundriss im Maßstab 1:100 ist der Grundfläche ähnlich mit .
- Ein Fotoabzug 20 x 30 cm ist dem Abzug 10 x 15 cm ähnlich mit .
- Zwei gleichschenklige Dreiecke mit gleichem Spitzenwinkel sind ähnlich.
- Zwei rechtwinklige Dreiecke mit übereinstimmendem zweiten Winkel sind ähnlich.
Dies ist nur ein kurzer Auszug. Die vollständige Lektion mit interaktiven Übungen und Lernfortschritts-Tracking gibt es nach Einlösung eines Einschreibeschlüssels.