Bedingte Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie verstehen den Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) und berechnen sie aus einer Vierfeldertafel
Sie kennen den Multiplikationssatz P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) und nutzen ihn bei Baumdiagrammen
Sie wenden den Satz von Bayes auf medizinische und technische Fragen an
Sie erkennen, warum ein positiver Test bei seltener Krankheit nicht zwangsläufig krank bedeutet

Warum bedingte Wahrscheinlichkeit?

In der Praxis wollen wir oft wissen: Wie wahrscheinlich ist etwas, wenn ich schon eine Teil-Information habe? Zum Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Maschine defekt ist, wenn sie älter als 5 Jahre ist? Oder: Wie wahrscheinlich ist eine Krankheit, wenn der Test positiv ist? Solche "Wenn-dann-Fragen" beantwortet die bedingte Wahrscheinlichkeit.

Bedingte Wahrscheinlichkeit - Definition

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$ , unter der Bedingung dass $B$ bereits eingetreten ist, schreibt man:

P(A \mid B) \quad \text{gelesen: "P von A gegeben B"}

Berechnungsformel:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (\text{mit } P(B) \neq 0)

$P(A \cap B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreten.

Abkürzungs-Einführung: Schreibweisen

P(A): Wahrscheinlichkeit für Ereignis A (ohne Zusatzinformation)
P(A|B): Wahrscheinlichkeit für A, unter der Bedingung dass B eingetreten ist
P(A ∩ B): Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig eintreten
Ā (A quer) oder nicht A: das Gegenereignis zu A

Vierfeldertafel - das handliche Werkzeug

Durchdachtes Beispiel A - Raucher und Lungenerkrankung

Situation: In einer Studie mit 1000 Erwachsenen finden sich folgende Zahlen:

Vierfeldertafel:

	Raucher (R)	Nichtraucher (R̄)	Summe
krank (K)	80	20	100
gesund (K̄)	220	680	900
Summe	300	700	1000

P(K|R) - Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, unter den Rauchern:

P(K \mid R) = \frac{80}{300} \approx 0{,}267 = 26{,}7\,\%

P(K|R̄) - Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, unter den Nichtrauchern:

P(K \mid \bar R) = \frac{20}{700} \approx 0{,}0286 = 2{,}86\,\%

Unter den Rauchern sind 26,7 % krank, unter den Nichtrauchern nur 2,86 %. Der Unterschied zeigt einen deutlichen Zusammenhang zwischen Rauchen und Krankheit.