Binomische Formeln – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie kennen die drei binomischen Formeln und können sie auswendig anwenden.
Sie verstehen die geometrische Herleitung der ersten binomischen Formel am Quadrat.
Sie wenden die Formeln sowohl zum Ausmultiplizieren als auch zum Faktorisieren an.
Sie nutzen die binomischen Formeln für schnelles Kopfrechnen (z.B. 43·37, 102²).

Warum die binomischen Formeln?

Wenn wir (a + b)² sehen, greifen viele reflexartig zu a² + b². Das ist falsch. Der Grund: Ein Quadrat wird nicht nur aus den zwei «Ecken» a und b gebildet, sondern aus vier Feldern. Die binomischen Formeln zeigen, welche das sind.

Sie sind der wichtigste Rechentrick zwischen Grundrechenarten und quadratischen Gleichungen. In der Praxis:

Physikalische Formeln auf Variablen umstellen (Bewegungs gesetz, kinetische Energie).
Quadratische Ergänzung zur Lösung von Gleichungen wie x² + 6x − 7 = 0.
Kopfrechentricks: 32² ohne Rechner oder 58 · 62 in Sekunden.

Die drei binomischen Formeln

Die drei Grundformeln

1. binomische Formel (Plus-Quadrat):

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2. binomische Formel (Minus-Quadrat):

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

3. binomische Formel (Plus-Minus):

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Gemeinsamkeit: Ein a², ein b², und ein gemischter Term (2ab bei 1./2., entfällt bei 3.).

Geometrische Herleitung der ersten Formel

Zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b. Teilen wir jede Seite in den Teil a und den Teil b, entstehen vier Felder:

Die Gesamtfläche dieses Quadrats ist (a + b)². Sie setzt sich aus vier Teilen zusammen:

ein Quadrat mit der Fläche a² (blau),
zwei Rechtecke mit der Fläche je a·b (beige) → zusammen 2ab,
ein Quadrat mit der Fläche b² (grün).

Daraus folgt direkt: (a + b)² = a² + 2ab + b². Der berühmte «gemischte Term» 2ab steht für die beiden Rechtecke, die beim Zusammensetzen entstehen.

Gleichung rückwärts lesen

Die zweite binomische Formel bekommt man, indem man b durch −b ersetzt. Die Rechtecke haben dann eine «negative Fläche» (mathematisch gesehen), das ergibt −2ab. Deshalb ist (a − b)² = a² − 2ab + b².