Bruchgleichungen - Variable im Nenner – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie erkennen eine Bruchgleichung daran, dass die Variable im Nenner steht
Sie bestimmen die Definitionsmenge vor dem Lösen, um verbotene Werte auszuschließen
Sie lösen Bruchgleichungen systematisch mit der Hauptnenner-Methode
Sie erkennen und verwerfen Scheinlösungen, die nicht zur Definitionsmenge gehören

Was unterscheidet eine Bruchgleichung?

In Modul 3 Lektion 2 haben Sie Gleichungen der Form $3x + 5 = 17$ kennengelernt. In diesen kommt die Variable nur im Zähler oder gar nicht in Brüchen vor. Eine Bruchgleichung ist anders: Hier steht $x$ im Nenner. Und weil wir durch 0 nicht teilen dürfen, müssen wir bei solchen Gleichungen besonders aufpassen.

Bruchgleichung - Definition

Eine Gleichung heißt Bruchgleichung, wenn die gesuchte Variable mindestens einmal im Nenner eines Bruchs vorkommt.

Beispiele:

\frac{12}{x} = 4 \quad | \quad \frac{x+3}{x-1} = 2 \quad | \quad \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x(x+2)}

Der erste Schritt beim Lösen ist immer: die verbotenen x-Werte ausschließen (Definitionsmenge bestimmen).

Definitionsmenge bestimmen

Verbotene Nenner finden

Jeder Nenner muss ungleich 0 sein. Man sucht daher alle $x$ -Werte, die irgendeinen Nenner zu 0 machen, und schließt sie aus.

$\dfrac{5}{x}$ : verboten ist $x = 0$
$\dfrac{7}{x - 3}$ : verboten ist $x = 3$
$\dfrac{a}{x + 2}$ : verboten ist $x = -2$
$\dfrac{a}{x(x-4)}$ : verboten sind $x = 0$ und $x = 4$

Die Definitionsmenge $D$ enthält alle übrigen reellen Zahlen.