Die Eulersche Zahl e - Herleitung und Sonderstellung – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie verstehen, warum $e$ aus einer konkreten Fragestellung der Finanzmathematik entstanden ist
Sie kennen die Grenzwert-Definition $e = \lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n$ und erkennen den Wert $e \approx 2{,}71828$
Sie unterscheiden diskrete und stetige Verzinsung und können zwischen beiden umrechnen
Sie wissen, was die Besonderheit der e-Funktion $f(x) = e^x$ bei der Ableitung ist
Sie erkennen e in typischen Modellen: Bevölkerungswachstum, Medikamentenabbau, Zinseszins-Grenzfall

Woher kommt e eigentlich?

In Lektion 3 haben Sie die e-Funktion als Werkzeug zur Beschreibung von Wachstum und Zerfall kennengelernt. In Lektion 4 haben Sie sie für Halbwertszeiten und Kohlenstoff-Datierung eingesetzt. Diese Lektion beantwortet die oft zu kurz kommende Frage: Warum ist $e \approx 2{,}71828$ eigentlich ein so besonderer Wert? Woher kommt diese Zahl?

Die Antwort führt uns zurück zu einem Gedankenexperiment aus der Finanzmathematik - und zu einem schönen Anwendungsfall der Grenzwerte, die Sie in Modul 14 Lektion 3 kennengelernt haben.

Das Zinseszins-Gedankenexperiment

Die Ausgangsfrage (Jakob Bernoulli, 1683)

Ein Kapital von 1 EUR wird mit 100 % Zinssatz pro Jahr angelegt. Die Bank bietet an, die Zinsen unterjährig gutzuschreiben, z.B. halbjährlich (50 % pro Halbjahr) oder monatlich. Je häufiger verzinst wird, desto mehr Endkapital. Die Frage: Wie viel wird es maximal, wenn man unendlich oft verzinst?

Formel für n Verzinsungstermine pro Jahr

Bei $n$ Verzinsungen pro Jahr und 100 % Jahreszins gibt es pro Termin $\frac{1}{n}$ Zinsen. Das Endkapital nach einem Jahr ist:

K_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

Durchdachtes Beispiel A - Endkapital bei wachsendem n

Aufgabe: Berechnen Sie $K_n = (1 + 1/n)^n$ für verschiedene n.

Schritt 1 - Tabelle mit Beispielwerten:

Verzinsungsart	n	$(1 + 1/n)^n$
jährlich	1	2,000000
halbjährlich	2	2,250000
vierteljährlich	4	2,441406
monatlich	12	2,613035
wöchentlich	52	2,692597
täglich	365	2,714567
stündlich	8.760	2,718127
sekündlich	31.536.000	2,718282

Schritt 2 - Beobachtung:

Die Werte wachsen - aber immer langsamer. Sie konvergieren gegen einen Grenzwert knapp unter 2,72.

Dieser Grenzwert ist die Eulersche Zahl: $e = 2{,}71828\ldots$

Definition der Eulerschen Zahl

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828182845904523536\ldots

$e$ ist irrational (nicht als Bruch darstellbar) und sogar transzendent (nicht Lösung einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten).