Einheitenanalyse und Dimensionsrechnung – Mathematik – Themenpool

Lernziele: Du kennst die wichtigsten SI-Präfixe, kannst Einheiten umrechnen und durch Einheitenanalyse prüfen, ob eine Formel oder ein Ergebnis korrekt ist.

Das SI-Einheitensystem

In Technik und Wissenschaft wird das Internationale Einheitensystem (SI) verwendet. Alle physikalischen Größen haben definierte Einheiten, die sich durch Vorsätze (Präfixe) skalieren lassen.

Wichtige Basiseinheiten:

Länge: Meter (m)
Masse: Kilogramm (kg)
Zeit: Sekunde (s)
Strom: Ampere (A)
Temperatur: Kelvin (K) / Celsius (°C)
Kraft: Newton (N) = kg·m/s²
Druck: Pascal (Pa) = N/m²
Energie/Arbeit: Joule (J) = N·m
Leistung: Watt (W) = J/s

SI-Präfixe

Mit Vorsätzen werden Vielfache und Teile von Einheiten gebildet:

Einheitenanalyse – Technische Mathematik

Präfix	Symbol	Faktor	Beispiel
Kilo	k	10³ = 1 000	1 kW = 1 000 W
Mega	M	10⁶ = 1 000 000	1 MPa = 10⁶ Pa
Milli	m	10⁻³ = 0,001	1 mm = 0,001 m
Mikro	μ	10⁻⁶	1 μm = 10⁻⁶ m

Einheitenanalyse (Dimensionsanalyse)

Die Einheitenanalyse ist eine Methode, um Formeln zu prüfen. Man setzt statt Zahlenwerten die Einheiten ein und kürzt. Das Ergebnis muss die richtige Einheit ergeben.

Beispiel: Druck p = F / A

\left[\frac{N}{m^2}\right] = \frac{[N]}{[m^2]} = Pa \quad \checkmark

Fehler erkennen:
Wenn jemand schreibt

v = F \cdot t

und die Einheiten einsetzt:

[N]\cdot [s] = \text{N·s} \neq \text{m/s} \quad \times

→ Die Formel kann nicht stimmen!

Flächen- und Volumenumrechnung

Fläche:

1\,\text{m}^2 = 10^4\,\text{cm}^2 = 10^6\,\text{mm}^2

1\,\text{cm}^2 = 10^{-4}\,\text{m}^2 \qquad 1\,\text{mm}^2 = 10^{-6}\,\text{m}^2

Volumen:

1\,\text{m}^3 = 10^3\,\text{dm}^3 = 10^6\,\text{cm}^3 = 10^9\,\text{mm}^3

1\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3 = 10^{-3}\,\text{m}^3 \qquad 1\,\text{mL} = 1\,\text{cm}^3