Exponentialfunktionen – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie verstehen den Aufbau einer Exponentialfunktion $f(x) = c \cdot a^x$ und können die Bedeutung von $c$ und $a$ erklären
Sie unterscheiden sicher zwischen exponentiellem Wachstum ( $a > 1$ ) und exponentiellem Zerfall ( $0 < a < 1$ )
Sie berechnen den Wachstumsfaktor aus einer prozentualen Zu- oder Abnahme
Sie nutzen die e-Funktion $f(t) = c \cdot e^{kt}$ und rechnen mit Halbwertszeit und Verdopplungszeit
Sie lösen Exponentialgleichungen durch Logarithmieren – Schritt für Schritt
Sie wenden das Gelernte auf Praxisaufgaben an: radioaktiver Zerfall, Bakterienwachstum, Koffein-Abbau, Zinseszins

Wozu braucht man Exponentialfunktionen?

Exponentialfunktionen beschreiben Prozesse, bei denen sich eine Größe pro Zeiteinheit nicht um einen festen Betrag, sondern um einen festen Prozentsatz ändert. Bei einer Bakterienkultur zum Beispiel kommen in der ersten Stunde vielleicht 100 neue Bakterien hinzu, in der zweiten aber schon 200 – weil die Anzahl zu Beginn der zweiten Stunde doppelt so groß ist wie am Anfang.

Exponentialfunktionen im Berufsalltag

Finanzen: Zinseszinsrechnung – Kapital wächst exponentiell, nicht linear
Medizin / Pharmazie: Abbau von Medikamenten und Koffein im Körper (Halbwertszeit)
Naturwissenschaft: Radioaktiver Zerfall, Bakterien- und Virenwachstum, Abkühlung (Newton)
Elektrotechnik: Laden und Entladen von Kondensatoren, gedämpfte Schwingungen
IT: Wachstum von Datenmengen, Komplexität rekursiver Algorithmen

Die Grundform einer Exponentialfunktion

Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten. Das unterscheidet sie grundlegend von Potenzfunktionen wie $f(x) = x^n$ , bei denen die Variable in der Basis steht.

Allgemeine Exponentialfunktion

$f(x) = c \cdot a^x$

Parameter	Name	Bedeutung
$c$	Anfangswert	Funktionswert bei $x = 0$ , denn $f(0) = c \cdot a^0 = c$
$a$	Basis bzw. Wachstumsfaktor	Faktor, mit dem der Funktionswert pro Zeiteinheit multipliziert wird

Bedingungen: $a > 0,\ a \neq 1$ und in der Regel $c > 0$ .

Ist $a > 1$ : exponentielles Wachstum (die Funktion steigt)
Ist $0 < a < 1$ : exponentieller Zerfall (die Funktion fällt)

Wachstumsfaktor und Prozentsatz

Zusammenhang Prozentsatz – Wachstumsfaktor

Nimmt eine Größe pro Zeiteinheit um $p\,\%$ zu:

$a = 1 + \frac{p}{100}$

Nimmt eine Größe pro Zeiteinheit um $p\,\%$ ab:

$a = 1 - \frac{p}{100}$

Änderung pro Zeiteinheit	Wachstumsfaktor $a$	Typ
$+28\,\%$	$1{,}28$	Wachstum
$+3\,\%$ p.a. (Zinsen)	$1{,}03$	Wachstum
$-20\,\%$	$0{,}80$	Zerfall
$-50\,\%$ (Halbierung)	$0{,}50$	Zerfall

Mini-Beispiel: Bakterienwachstum

Eine Bakterienkultur wächst pro Stunde um $28\,\%$ . Wachstumsfaktor: $a = 1 + 0{,}28 = 1{,}28$ .

Bei $N_0$ Bakterien zu Beginn lautet die Funktion:

$N(t) = N_0 \cdot 1{,}28^{\,t}$