Folgen und Grenzwerte - wenn Zahlen sich einem Wert nähern – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie verstehen, was eine Folge ist und wie Folgen durch ein Bildungsgesetz beschrieben werden
Sie erkennen, ob eine Folge konvergiert (sich einem Wert nähert) oder divergiert (davonläuft)
Sie können den Grenzwert einfacher Folgen bestimmen
Sie verstehen, warum $0{,}\overline{9} = 1$ gilt und warum diese Aussage nicht paradox ist

Was ist eine Folge?

Nachdem wir in Lektion 1 und 2 die Unendlichkeit als Menge betrachtet haben, schauen wir jetzt auf eine andere Sorte Unendlichkeit: unendlich viele Zahlen hintereinander. Solche Aneinanderreihungen heißen in der Mathematik Folgen.

Folge - Definition

Eine Folge ist eine unendliche Liste von Zahlen in einer festen Reihenfolge:

a_1,\; a_2,\; a_3,\; a_4,\; \ldots,\; a_n,\; \ldots

Das $n$ -te Glied wird mit $a_n$ bezeichnet. Die Regel, nach der die Glieder gebildet werden, heißt Bildungsgesetz.

Beispiele für Folgen

Bildungsgesetz	Die ersten Glieder	Beschreibung
$a_n = n$	1, 2, 3, 4, 5, ...	Natürliche Zahlen
$a_n = 2n$	2, 4, 6, 8, 10, ...	Gerade Zahlen
$a_n = \frac{1}{n}$	1; 0,5; 0,333...; 0,25; 0,2; ...	Stammbrüche
$a_n = (-1)^n$	-1, 1, -1, 1, -1, ...	Alternierende Folge
$a_n = 2^n$	2, 4, 8, 16, 32, ...	Zweierpotenzen