Gleitkommazahlen und Rundungsfehler – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie verstehen, warum Computer reelle Zahlen nur näherungsweise speichern können
Sie kennen den Unterschied zwischen Festkomma- und Gleitkommazahlen
Sie können erklären, warum 0,1 + 0,2 ≠ 0,3 in vielen Programmiersprachen herauskommt
Sie erkennen typische Situationen, in denen Rundungsfehler gefährlich werden (Geldbeträge, lange Summen)
Sie kennen Faustregeln zum sicheren Vergleichen von Gleitkommazahlen

Warum ist das überhaupt ein Problem?

In Lektion 1 dieses Moduls haben Sie gesehen, wie Computer Ganzzahlen im Binärsystem speichern. In Lektion 2 haben Sie Zweierpotenzen kennengelernt. Beide Konzepte kommen jetzt zusammen: Wie speichert ein Rechner eine Zahl wie $3{,}14$ oder $0{,}1$ - Zahlen, die keine ganzzahligen Bits sind?

Ein Computer hat nur endlich viele Bits pro Zahl (meist 32 oder 64). Damit lassen sich höchstens $2^{32}$ bzw. $2^{64}$ verschiedene Werte darstellen. Die reellen Zahlen sind aber überabzählbar unendlich viele. Deshalb kann der Computer die allermeisten reellen Zahlen nur annähern - und das ist die Quelle von Rundungsfehlern.

Zwei Wege, Kommazahlen zu speichern

Es gibt zwei grundlegend unterschiedliche Ansätze:

Festkomma (fixed-point): Das Komma steht an einer fixen Position. Beispiel: Beträge in Cent speichern, nie in Euro mit Komma. 1 EUR = 100, 23,45 EUR = 2345. Keine Rundungsfehler, aber eingeschränkter Bereich.
Gleitkomma (floating-point): Die Position des Kommas "gleitet". So wie im Dezimalsystem $1{,}23 \cdot 10^5 = 123000$ , speichert der Computer Mantisse und Exponent getrennt. Riesiger Zahlenbereich, dafür Rundungsfehler.

Wissenschaftliche Schreibweise im Binärsystem

In Modul 2 haben Sie die wissenschaftliche Schreibweise im Dezimalsystem kennengelernt: $3{,}14 \cdot 10^2 = 314$ . Gleitkommazahlen funktionieren genauso, nur zur Basis 2:

Struktur einer Gleitkommazahl (IEEE 754)

Jede Gleitkommazahl wird gespeichert als:

\text{Zahl} = (-1)^{\text{Vorzeichen}} \cdot \text{Mantisse} \cdot 2^{\text{Exponent}}

Ein 64-Bit-Double (Standardformat in den meisten Sprachen) verteilt die 64 Bits so:

1 Bit für das Vorzeichen (0 = positiv, 1 = negativ)
11 Bits für den Exponenten (Zahlenbereich ca. $10^{-308}$ bis $10^{308}$ )
52 Bits für die Mantisse (ergibt etwa 15-17 signifikante Dezimalstellen)

Ein 32-Bit-Float hat entsprechend weniger: 8 Bits Exponent, 23 Bits Mantisse - nur 7-8 signifikante Stellen.