Kombinatorik – Wie viele Möglichkeiten gibt es? – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie kennen das Zählprinzip und wenden es bei mehrstufigen Auswahlprozessen an
Sie verstehen die Fakultät n! und wissen, warum 0! = 1 ist
Sie unterscheiden Permutation, Variation (mit/ohne Wiederholung) und Kombination
Sie berechnen den Binomialkoeffizienten C(n, k) = n! / (k! · (n−k)!) und wissen, wann er zu verwenden ist
Sie zählen günstige und mögliche Ergebnisse in Wahrscheinlichkeits-Aufgaben mit kombinatorischen Methoden

Das Zählprinzip

Wie viele unterschiedliche PINs mit 4 Ziffern gibt es? Wie viele Start-Reihenfolgen beim 100-Meter-Lauf mit 8 Startern? Mit welcher Wahrscheinlichkeit tippt man 6 Richtige im Lotto? Zur Beantwortung solcher Fragen dient die Kombinatorik.

Das Zählprinzip (Produktregel)

Wenn ein Vorgang aus mehreren unabhängigen Schritten besteht und Schritt 1 auf n₁ Arten, Schritt 2 auf n₂ Arten, Schritt k auf nₖ Arten ablaufen kann, dann gibt es insgesamt:

$n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$

verschiedene Möglichkeiten.

Beispiel: PIN mit 4 Ziffern

Jede der 4 Stellen kann unabhängig 0…9 sein. Also 10 Möglichkeiten pro Stelle.

Gesamt: 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 PINs.

Fakultät n!

Für viele Kombinatorik-Formeln braucht man das Produkt aller natürlichen Zahlen bis n.

Definition Fakultät

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

Lies: „n Fakultät". Beispiele:

3! = 1 · 2 · 3 = 6
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
0! = 1 (per Definition, damit die Formeln konsistent sind)