Logarithmus – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie verstehen, dass der Logarithmus die Umkehroperation der Potenz ist und können $\log_a b = x$ sauber als „ $a$ hoch was ergibt $b$ ?" lesen
Sie kennen die drei wichtigen Logarithmen: Zehnerlogarithmus $\lg$ , natürlicher Logarithmus $\ln$ und Zweierlogarithmus $\operatorname{ld}$
Sie wenden die drei Logarithmusgesetze (Produkt-, Quotienten- und Potenzregel) sicher an – auch ohne Taschenrechner
Sie führen einen Basiswechsel durch, um beliebige Logarithmen mit dem Taschenrechner auszurechnen
Sie erkennen, wo Logarithmen in Dezibel-, pH-, Richter-Skala und in der Informatik auftreten

Wozu braucht man den Logarithmus?

Der Logarithmus ist die Umkehroperation des Potenzierens – so wie die Subtraktion die Umkehrung der Addition ist und die Division die Umkehrung der Multiplikation. Er beantwortet die Frage:

Mit welchem Exponenten muss ich eine gegebene Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?

Logarithmus im Berufsalltag

IT / Informatik: Der Binärlogarithmus $\log_2$ gibt an, wie viele Bits eine Zahl darstellt – $\log_2(1\,024) = 10$ , also 10 Bit für Werte bis 1 024
Elektrotechnik / Audio: Dezibel (dB) – das Gehör empfindet Lautstärke logarithmisch, daher wird der Schallpegel logarithmisch gemessen
Kaufmännisch / Finanzen: „Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital?" wird mit dem Logarithmus beantwortet
Naturwissenschaft: pH-Wert (Chemie), Richter-Skala (Erdbeben), Sternhelligkeiten – alle sind logarithmische Skalen

Definition des Logarithmus

So ist der Logarithmus definiert

$\log_a b = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x = b \qquad (a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0)$

Begriff	Symbol	Bedeutung	Beispiel $\log_2 8$
Basis	$a$	Die Grundzahl; muss $a > 0,\ a \neq 1$ sein	2
Numerus	$b$	Die Zahl, deren Logarithmus gesucht wird; muss $b > 0$ sein	8
Logarithmuswert	$x$	Das Ergebnis – der Exponent	$3$ , denn $2^3 = 8$

So liest man einen Logarithmus:

\log_2 8 = 3

heißt: „2 hoch was ergibt 8?" – Antwort: 3, denn

2^3 = 8

\log_{10} 1\,000 = 3

heißt: „10 hoch was ergibt 1 000?" – Antwort: 3, denn

10^3 = 1\,000

Die drei wichtigen Logarithmen

Spezielle Logarithmen und ihre Schreibweisen

Name	Basis	Schreibweise	Typische Anwendung
Zehnerlogarithmus (dekadisch)	$a = 10$	$\lg b$ oder $\log b$	Dezibel, pH-Wert, Richter-Skala
Natürlicher Logarithmus	$a = e$	$\ln b$	Naturwissenschaft, Analysis, Zerfall
Zweierlogarithmus	$a = 2$	$\operatorname{ld} b$ oder $\log_2 b$	Informatik (Bits, Binärbäume)

Auf dem Taschenrechner findet man meist nur $\lg$ (Taste log) und $\ln$ . Alle anderen Basen rechnet man über den Basiswechsel aus.

Grundlegende Beziehungen – auswendig kennen

Sofort-Werte, die sich direkt aus der Definition ergeben

$\log_a 1 = 0 \quad (\text{denn } a^0 = 1), \qquad \log_a a = 1 \quad (\text{denn } a^1 = a)$

$a^{\log_a b} = b, \qquad \log_a(a^n) = n \qquad (\text{Log und Potenz heben sich gegenseitig auf})$

Speziell: $\lg 10 = 1,\ \lg 100 = 2,\ \lg 0{,}001 = -3,\ \ln e = 1,\ \ln 1 = 0$ .