Logarithmus in der Praxis – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie rechnen mit dem pH-Wert und verstehen, warum eine Säure mit pH 3 zehnmal saurer ist als eine mit pH 4.
Sie berechnen Dezibel-Werte für Schall und verstehen den Zusammenhang «plus 10 dB = zehn Mal so laut (im Pegel)».
Sie lösen Halbwertszeit- und Zerfallsaufgaben mit dem natürlichen Logarithmus.
Sie bestimmen die Verdopplungszeit eines Kapitals mit der 72er-Regel und mit dem Logarithmus.

Warum braucht man Logarithmen in der Praxis?

Überall dort, wo Größen multiplikativ wachsen oder schrumpfen (verdoppeln, verzehnfachen, halbieren), liefert der Logarithmus die passende Maßstabsskala. Er rechnet Faktoren in Abstände um – und macht damit Skalen lesbar, die sonst über viele Größenordnungen reichen würden.

Logarithmische Skalen im Alltag

pH-Wert (Chemie, Putzen, Biologie): pH-Differenz 1 = Faktor 10 bei der H ⁺-Konzentration.
Dezibel (Audio, Technik): 10 dB mehr = Pegel mal 10, empfundene Lautheit ungefähr verdoppelt.
Richter-Magnitude (Erdbeben): 1 Magnitude mehr = ca. 32 Mal mehr Energie.
Sternhelligkeit (Astronomie): 5 Größenklassen = Faktor 100 bei der Helligkeit.
Zerfall (Physik, Medizin): radioaktive Stoffe, Medikamente, Kaffeekoffein.

Kurzrecap – die Werkzeuge

Das brauchen wir heute

$\log_a b = x \; \Longleftrightarrow \; a^x = b$

$\lg b = \log_{10} b \quad (\text{Zehnerlog}), \qquad \ln b = \log_e b \quad (\text{natürlicher Log})$

$\lg(u \cdot v) = \lg u + \lg v, \qquad \lg(u^n) = n \cdot \lg u$

Taschenrechner: Taste log = Zehnerlog, Taste ln = natürlicher Log.

Anwendung 1 – pH-Wert

Der pH-Wert beschreibt, wie sauer oder alkalisch eine wässrige Lösung ist. Er ist der negative Zehnerlogarithmus der Konzentration der Wasserstoff-Ionen [H⁺] (in mol/l):

Formel für den pH-Wert

$\text{pH} = -\lg\,[\text{H}^+]$

Oder umgekehrt:

$[\text{H}^+] = 10^{-\text{pH}}$

pH < 7: sauer (Zitronensaft ≈ 2, Cola ≈ 3)
pH = 7: neutral (reines Wasser)
pH > 7: basisch (Seife ≈ 10, Natronlauge ≈ 14)

Beispiel – Zwei Säuren vergleichen

Saft hat pH = 3, schwarzer Tee hat pH = 5. Wie viel saurer ist der Saft?

Schritt 1 – Konzentrationen berechnen:

Saft: [H⁺] = 10^-3 = 0,001 mol/l

Tee: [H⁺] = 10^-5 = 0,000 01 mol/l

Schritt 2 – Verhältnis bilden: 10^-3 : 10^-5 = 10² = 100.

Ergebnis: Der Saft ist 100 Mal saurer. Jede Einheit im pH-Wert entspricht Faktor 10.

Anwendung 2 – Dezibel (Schallpegel)

Das menschliche Gehör erfasst einen enormen Bereich – vom leisen Atmen bis zum Düsenjet. Lineare Zahlen wären unbrauchbar. Deshalb misst man den Schallpegel logarithmisch in Dezibel (dB).

Schallpegel

$L = 10 \cdot \lg\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right) \,\text{dB}$

I: Schallintensität der Messung (in W/m²).
I₀: Referenzintensität = 10^-12 W/m² (Hörschwelle).
L: Schallpegel in Dezibel.

Merke: +10 dB bedeutet Intensität mal 10. Empfunden wird das als etwa doppelt so laut.

Situation              Pegel   Intensität
Hörschwelle           0 dB    1 · 10^-12 W/m²
Flüstern              30 dB   1 · 10^-9  W/m²
Büro                  50 dB   1 · 10^-7  W/m²
Straße, belebt        70 dB   1 · 10^-5  W/m²
Pressluftbohrer       100 dB   1 · 10^-2  W/m²
Düsenjet (nahe)      130 dB   10 W/m²

Beispiel – Zwei Büro-Lautstärken

In einem Büro wird der Schallpegel von 50 dB auf 70 dB erhöht. Wie viel Mal größer ist die Intensität?

Schritt 1 – Differenz bilden: 70 dB − 50 dB = 20 dB.

Schritt 2 – Differenz ins Verhältnis übersetzen: 20 dB = zweimal +10 dB → Intensität mal 10 mal 10 = 100.

Ergebnis: Die Intensität hat sich verhundertfacht. Empfunden wird es ungefähr vier Mal so laut (jede Verdopplung der Empfindung entspricht ca. +10 dB).

Anwendung 3 – Halbwertszeit und Zerfall

Radioaktive Stoffe, Medikamente, Kaffee-Koffein im Blut, das Abkühlen einer Tasse Tee – sie alle folgen einem exponentiellen Zerfall. Die gesuchte Größe ist häufig die Zeit, bis eine bestimmte Restmenge übrig bleibt.

Zerfallsformel mit Halbwertszeit

$N(t) = N_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t / T_{1/2}}$

N₀: Startmenge.
N(t): Menge nach der Zeit t.
T_1/2: Halbwertszeit (Zeit, in der sich die Menge halbiert).

Nach der Zeit t bleibt der Anteil $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}$ übrig. Soll nach der nötigen Zeit aufgelöst werden, nimmt man auf beiden Seiten den Logarithmus:

$t = T_{1/2} \cdot \dfrac{\lg(N_0 / N)}{\lg 2}$

Beispiel – Kaffeekoffein

Nach einem Espresso sind 80 mg Koffein im Blut. Die Halbwertszeit im Körper beträgt ungefähr 5 Stunden. Nach welcher Zeit sind noch 10 mg übrig?

Schritt 1 – Verhältnis bilden: N₀/N = 80/10 = 8 = 2³.

Schritt 2 – Formel anwenden: $t = 5\,\text{h} \cdot \dfrac{\lg 8}{\lg 2} = 5\,\text{h} \cdot 3 = 15\,\text{h}$

Ergebnis: Nach 15 Stunden sind noch etwa 10 mg Koffein im Blut. Das ist der Grund, warum Kaffee am späten Nachmittag abends noch den Schlaf stören kann.

Anwendung 4 – Kapital-Verdopplung

Wer 1 000 € mit 4 % Zinsen pro Jahr anlegt: Nach wie vielen Jahren ist das Kapital verdoppelt?

Verdopplungszeit (Zinseszins)

$K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n$

Verdopplung bedeutet K_n = 2 · K₀:

$2 = (1+p)^n \quad\Longrightarrow\quad n = \dfrac{\lg 2}{\lg(1+p)}$

Faustregel (72er-Regel): n ≈ 72 / Zinssatz in Prozent. Bei 4 %: 72/4 = 18 Jahre.

Beispiel – Kapital-Verdopplung

Bei 4 % Zinsen: Wie lange bis zur Verdopplung? Vergleichen wir 72er-Regel und Logarithmus.

72er-Regel: n ≈ 72 / 4 = 18 Jahre.

Logarithmus: $n = \dfrac{\lg 2}{\lg 1{,}04} \approx \dfrac{0{,}3010}{0{,}0170} \approx 17{,}67 \,\text{Jahre}$

Ergebnis: Knapp 18 Jahre. Die 72er-Regel ist eine sehr gute Näherung.