Modulo-Arithmetik - Uhrenrechnen, Prüfziffern und Hashes – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie verstehen den Begriff Modulo (Restwert bei ganzzahliger Division) und können ihn anwenden
Sie können einfache Rechnungen im Uhrenrechnen (mod 12, mod 24, mod 60) durchführen
Sie verstehen, wie Prüfziffern (IBAN, ISBN, EAN) mit Modulo funktionieren
Sie erkennen Modulo als Grundbaustein von Hashfunktionen, Kryptographie und Scheduling-Algorithmen

Der Modulo-Operator

Wenn Sie 17 durch 5 teilen, bekommen Sie den Quotienten 3 und den Rest 2. Genau dieser Rest ist das Ergebnis der Modulo-Rechnung. In der IT heißt der Operator fast immer % oder mod.

Definition: a mod n

Seien $a$ eine ganze Zahl und $n$ eine positive ganze Zahl. Dann ist $a \bmod n$ der Rest, der bei der ganzzahligen Division $a : n$ übrig bleibt.

17 \bmod 5 = 2 \quad \text{(weil } 17 = 3 \cdot 5 + 2\text{)}

20 \bmod 5 = 0 \quad \text{(weil } 20 = 4 \cdot 5 + 0\text{)}

Das Ergebnis ist immer eine Zahl aus dem Bereich $0, 1, 2, \ldots, n-1$ .

Abkürzungs-Einführung: mod und DIV

mod (auch %): liefert den Rest einer ganzzahligen Division. Beispiel: $23 \bmod 7 = 2$ .
DIV (auch // in Python, \ in VBA): liefert den ganzzahligen Quotienten. Beispiel: $23 \text{ DIV } 7 = 3$ .

Zusammen gilt: $a = (a \text{ DIV } n) \cdot n + (a \bmod n)$

Für $a = 23$ und $n = 7$ : $23 = 3 \cdot 7 + 2$ . Passt.