Potenzen von 2 – Mathematik – Themenpool

Lernziele: Du kennst die Potenzen von 2 auswendig (bis 2¹⁰), verstehst die Speichereinheiten Bit, Byte, KB, MB, GB und TB und kannst berechnen, wie viele Werte sich mit einer gegebenen Anzahl von Bits darstellen lassen.

Warum Potenzen von 2?

Jedes zusätzliche Bit verdoppelt die Anzahl der darstellbaren Werte. Mit n Bits lassen sich genau $2^n$ verschiedene Werte darstellen (von 0 bis $2^n - 1$ ).

Potenzen von 2 – auswendig lernen:

2^0=1,\quad 2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8,\quad 2^4=16

2^5=32,\quad 2^6=64,\quad 2^7=128,\quad 2^8=256

2^9=512,\quad 2^{10}=1024

Bit und Byte

Das kleinste Informationselement im Computer ist das Bit (0 oder 1). Acht Bits ergeben ein Byte:

1\,\text{Byte} = 8\,\text{Bit} \quad \Rightarrow \quad 2^8 = 256\text{ verschiedene Werte (0–255)}

Speichereinheiten

Einheit	Abk.	Wert
Kilobyte	KB	2¹⁰ Byte = 1 024 Byte
Megabyte	MB	2²⁰ Byte = 1 048 576 Byte ≈ 1 Million Byte
Gigabyte	GB	2³⁰ Byte ≈ 1 Milliarde Byte
Terabyte	TB	2⁴⁰ Byte ≈ 1 Billion Byte

Achtung: 1 KB = 1 024 Byte (nicht 1 000!). Der Grund:

2^{10} = 1 024

, nicht 1 000. Festplattenhersteller verwenden oft die dezimale Definition (1 KB = 1 000 Byte), was zu Verwirrung führt.

Adressierbarkeit

Die Anzahl der Bits bestimmt, wie viele verschiedene Adressen oder Werte möglich sind:

IPv4-Adressen:
Eine IPv4-Adresse hat 32 Bit. Damit gibt es

2^{32} \approx 4{,}3 \cdot 10^9

mögliche Adressen – das reicht für ca. 4,3 Milliarden Geräte.

IPv6-Adressen:
IPv6 verwendet 128 Bit →

2^{128} \approx 3{,}4 \cdot 10^{38}

Adressen – praktisch unbegrenzt.

Merke:

n Bits → $2^n$ verschiedene Werte
1 Byte = 8 Bit = 256 Werte (0–255)
1 KB = 1 024 Byte (Zweierpotenz, nicht 1 000)
Verdopplung der Bits: 1 zusätzliches Bit verdoppelt den Adressraum