Quadratische Gleichungen - pq- und Mitternachtsformel – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie erkennen eine quadratische Gleichung an der höchsten Potenz $x^2$
Sie lösen reinquadratische Gleichungen ( $ax^2 = c$ ) durch Wurzelziehen
Sie wenden die pq-Formel auf Gleichungen in Normalform ( $x^2 + px + q = 0$ ) an
Sie wenden die Mitternachtsformel (abc-Formel) auf beliebige quadratische Gleichungen an
Sie bestimmen über die Diskriminante die Anzahl der reellen Lösungen

Was ist eine quadratische Gleichung?

In Modul 3 Lektion 2 haben Sie lineare Gleichungen gelöst - also solche mit $x$ in der ersten Potenz, wie $3x + 5 = 17$ . Sobald $x^2$ auftaucht, ist die Gleichung quadratisch. Sie beschreibt Flächen, Wurfparabeln, Bremswege - also alles, was von einer Größe quadratisch abhängt. Und sie kann in der Regel nicht mehr durch bloßes Umformen gelöst werden, sondern braucht eine Formel.

Quadratische Gleichung - Definition

Eine Gleichung heißt quadratisch, wenn sich die Variable mit Höchstpotenz 2 darin befindet. Die allgemeine Form ist:

a x^2 + b x + c = 0 \quad (\text{mit } a \neq 0)

Wenn $a = 1$ ist (oder man durch $a$ geteilt hat), spricht man von der Normalform:

x^2 + p x + q = 0

Die Zahl $a$ heißt Koeffizient vor $x^2$ , $b$ (bzw. $p$ ) ist der lineare Koeffizient, $c$ (bzw. $q$ ) das Absolutglied.