Schlussrechnungen – Direkte und indirekte Proportionalität – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie unterscheiden direkte Proportionalität ( $y = k \cdot x$ ) von indirekter Proportionalität ( $y = k / x$ ).
Sie erkennen aus Wertetabellen und Texten, welche Art von Proportionalität vorliegt.
Sie bestimmen die Proportionalitätskonstante $k$ und lösen Alltagsaufgaben beider Typen.
Sie beherrschen den Dreisatz als strukturierte Lösungsmethode und wenden ihn je nach Art korrekt an.
Sie erkennen Aufgaben, bei denen keine Proportionalität vorliegt (Vorsicht-Fallen).

Zwei Grundmuster im Alltag

Im Alltag begegnen Sie immer wieder zwei Beziehungen zwischen Größen. Beispiel: 1 Kaffee kostet 3 €, 2 Kaffees kosten 6 €. Hier wächst die eine Größe mit der anderen – das ist direkte Proportionalität. Anders bei: 1 Maler braucht 12 Stunden, 2 Maler brauchen 6 Stunden. Hier schrumpft die eine Größe, wenn die andere wächst – das ist indirekte Proportionalität.

Die beiden Arten im Überblick

Art	Formel	Merkregel	Graph
direkt proportional	$y = k \cdot x$	doppelt so viel x, doppelt so viel y	Gerade durch den Ursprung
indirekt proportional	$y = \dfrac{k}{x}$	doppelt so viel x, halb so viel y	Hyperbel (fällt und nähert sich den Achsen)

Die Zahl $k$ heißt Proportionalitätskonstante. Sie ist in beiden Fällen die Kenngröße, die das Verhalten festlegt.

Direkte Proportionalität

Direkt proportional – Definition und Test

Zwei Größen $x$ und $y$ sind direkt proportional, wenn gilt:

\frac{y}{x} = k \quad \text{(konstant, für alle Wertepaare)}

Test: Teilen Sie in einer Wertetabelle alle y-Werte durch die zugehörigen x-Werte. Kommt immer dieselbe Zahl heraus, ist es direkte Proportionalität.

Beispiel A – Benzinkosten

Aufgabe: An der Tankstelle kostet 1 Liter Diesel 1,60 €.

Schritt 1 – Wertetabelle:

x (Liter)	10	20	30	50
y (€)	16	32	48	80

Schritt 2 – Quotienten prüfen:

\frac{16}{10} = 1{,}6; \quad \frac{32}{20} = 1{,}6; \quad \frac{48}{30} = 1{,}6; \quad \frac{80}{50} = 1{,}6

Alle Quotienten ergeben 1,6. Also direkt proportional mit $k = 1{,}60$ €/Liter.

Schritt 3 – Formel und Anwendung:

y = 1{,}60 \cdot x

Für 42 Liter: $y = 1{,}60 \cdot 42 = 67{,}20$ €.

Erkennungszeichen: Je mehr Liter, desto mehr Euro – und zwar im gleichen Verhältnis.

Der Dreisatz bei direkter Proportionalität

Der Dreisatz ist eine strukturierte Methode, die in drei Zeilen abläuft. Sie ist besonders übersichtlich und leicht kontrollierbar.

Dreisatz – direkter Typ (dividieren, dann multiplizieren)

Am Beispiel: 3 kg Äpfel kosten 4,50 €. Was kosten 7 kg?

Zeile 1: Gegeben	3 kg	4,50 €
Zeile 2: Auf 1 reduzieren (: 3)	1 kg	$4{,}50 : 3 = 1{,}50$ €
Zeile 3: Hochrechnen (× 7)	7 kg	$1{,}50 \cdot 7 = 10{,}50$ €

Merkhilfe: „Auf 1 runter, auf die Zielgröße rauf." Zuerst teilen (: durch den gegebenen Wert), dann multiplizieren (× mit dem gesuchten Wert).