Unendliche Reihen - geometrisch, harmonisch, konvergent – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie unterscheiden zwischen Folge und Reihe
Sie kennen die Summenformel der geometrischen Reihe und die Konvergenzbedingung $|q| < 1$
Sie wissen, dass die harmonische Reihe trotz immer kleinerer Summanden divergiert
Sie verstehen, warum Zenons Paradoxon (Achilles und die Schildkröte) kein Widerspruch ist
Sie wenden geometrische Reihen auf Zinseszins-Grenzfälle und Fraktale an

Folge und Reihe - Was ist der Unterschied?

In Lektion 3 haben Sie Folgen kennengelernt: eine Auflistung von Zahlen $a_1, a_2, a_3, \ldots$ und ihren Grenzwert. Eine Reihe ist etwas anderes: Sie ist die Summe aller Folgenglieder.

Definition - Reihe

Zu einer Folge $a_1, a_2, a_3, \ldots$ gehört die unendliche Reihe

S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots = \sum_{k=1}^{\infty} a_k

Man bildet schrittweise die sogenannten Partialsummen:

S_1 = a_1,\; S_2 = a_1 + a_2,\; S_3 = a_1 + a_2 + a_3,\; \ldots

Die Reihe konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen $S_n$ einen Grenzwert hat. Sonst divergiert sie.

Vorsicht - nicht verwechseln

Es reicht nicht, dass die Folge $a_n$ gegen 0 geht. Die Summe kann trotzdem ins Unendliche wachsen. Ein prominentes Beispiel sehen wir gleich (harmonische Reihe).