Ungleichungen – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie lesen und schreiben Ungleichungen mit den Zeichen <, ≤, >, ≥.
Sie lösen lineare Ungleichungen durch Umformen – und kennen die Sonderregel beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl.
Sie stellen die Lösungsmenge auf der Zahlengerade und in Intervallschreibweise dar.
Sie übersetzen Alltags- und Berufsaussagen («mindestens», «höchstens») in Ungleichungen.

Von der Gleichung zur Ungleichung

Bei einer Gleichung fragen wir: Welche Zahl erfüllt x + 3 = 10? Die Antwort ist genau eine Zahl: x = 7. Bei einer Ungleichung ist die Frage weicher: Für welche Zahlen ist x + 3 < 10? Hier gibt es nicht die eine Lösung, sondern einen Bereich: alle Zahlen kleiner als 7.

Im Alltag kommen Ungleichungen öfter vor als Gleichungen: Höchstens 20 kg Handgepäck, mindestens 18 Jahre, Temperatur über 30°C, Budget unter 1 500 €.

Die vier Vergleichszeichen

Zeichen	Gelesen als	Strikt oder gleich?
<	kleiner als	strikt (Grenze nicht eingeschlossen)
≤	kleiner oder gleich	nicht strikt (Grenze eingeschlossen)
>	größer als	strikt (Grenze nicht eingeschlossen)
≥	größer oder gleich	nicht strikt (Grenze eingeschlossen)

Merkregel: Die Zeichen «zeigen» immer auf die kleinere Seite. 3 < 7 – die Spitze zeigt auf die 3.

Übersetzen aus der Alltagssprache

Typische Formulierungen

Alltagssprache	Mathematisch
mindestens 18	x ≥ 18
höchstens 50 kg	m ≤ 50
weniger als 100 €	p < 100
mehr als 200 Seiten	s > 200
zwischen 5 und 10 (einschließlich)	5 ≤ x ≤ 10
unter 20 Grad	t < 20

Faustregel: «mindestens» und «höchstens» schließen die Grenze ein (≥ bzw. ≤). «weniger als» und «mehr als» schließen sie nicht ein (< bzw. >).

Lineare Ungleichungen lösen

Das Vorgehen ist fast identisch wie bei Gleichungen: Man darf auf beiden Seiten dasselbe tun – mit einer Ausnahme. Diese Ausnahme ist der wichtigste Punkt dieser Lektion.

Umformungsregeln für Ungleichungen

Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren: Ungleichheitszeichen bleibt.
Auf beiden Seiten mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder dividieren: Zeichen bleibt.
Auf beiden Seiten mit derselben negativen Zahl multiplizieren oder dividieren: Zeichen kehrt sich um (aus < wird >, aus ≤ wird ≥ usw.).

Merksatz: Minus dreht, Plus lässt stehen.

Warum dreht sich das Zeichen?

Starten wir mit einer wahren Aussage: 2 < 6. Multiplizieren wir beide Seiten mit −1:

2 · (−1) = −2 | 6 · (−1) = −6

Ist −2 < −6 noch wahr? Nein. −2 ist größer als −6 (weiter rechts auf der Zahlengerade). Nur mit umgekehrtem Zeichen bleibt die Aussage richtig: −2 > −6.

Der Spiegel-Effekt der negativen Zahlen kehrt die Reihenfolge um.