Vektorrechnung – Grundlagen – Mathematik – Themenpool

Lernziele: Du verstehst, was ein Vektor ist, kannst Vektoren addieren und subtrahieren, den Betrag und den Richtungswinkel berechnen und Kräfte im Parallelogramm zusammensetzen.

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor beschreibt eine gerichtete Größe – also eine Größe mit Betrag und Richtung. Im Gegensatz zu einem Skalar (z. B. Temperatur, Masse) hat ein Vektor eine Richtung im Raum.

Schreibweise: Ein Vektor wird mit einem Pfeil geschrieben:

\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}

$v_x$ = x-Komponente (horizontal)
$v_y$ = y-Komponente (vertikal)

Vektoraddition und -subtraktion

Vektoren werden komponentenweise addiert oder subtrahiert:

\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix} \qquad \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \end{pmatrix}

Beispiel:

\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}

\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}

\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}

– geometrisch: Parallelogramm-Regel

Betrag eines Vektors

Der Betrag (die Länge) eines Vektors ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

Beispiel:

\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}

|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5{,}83

Richtungswinkel

Der Richtungswinkel $\varphi$ gibt an, in welche Richtung der Vektor zeigt – gemessen von der positiven x-Achse aus:

\varphi = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)

Beispiel:

\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}

\varphi = \arctan\!\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30{,}96°

Kräfte-Parallelogramm (Technik)

In der Technik werden Kräfte als Vektoren dargestellt. Wirken mehrere Kräfte auf einen Punkt, ergibt sich die Resultierende durch Vektoraddition. Grafisch nutzt man das Parallelogramm der Kräfte.

\vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} F_{1x} + F_{2x} \\ F_{1y} + F_{2y} \end{pmatrix}

Betrag:

|\vec{F}_R| = \sqrt{F_{Rx}^2 + F_{Ry}^2}