Wurzeln – Mathematik – Themenpool

Lernziele dieser Lektion

Sie verstehen die Quadratwurzel als Umkehrung des Quadrierens und können sie im Kopf für Quadratzahlen berechnen
Sie kennen die n-te Wurzel und die zugehörigen Rechenregeln
Sie schreiben Wurzeln als Potenzen mit Bruch-Exponent und wenden dann die Potenzgesetze an
Sie vereinfachen Wurzel- und Mischausdrücke schrittweise – vom Wurzelzeichen zur kompakten Potenz

Wozu braucht man Wurzeln?

Wurzeln sind die Umkehrung von Potenzen. Immer dann, wenn man ein Quadrat oder eine Potenz zurückrechnen möchte – etwa die Seitenlänge eines Quadrats aus seiner Fläche, die Kantenlänge eines Würfels aus seinem Volumen oder die Zeit, nach der ein Wachstum einen bestimmten Wert erreicht – führt der Weg über die Wurzel.

Wurzeln im Berufsalltag

Technik: Seite eines Quadrats: $a = \sqrt{A}$ | Kante eines Würfels: $a = \sqrt[3]{V}$
Bau / Handwerk: Diagonale im rechtwinkligen Dreieck: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (Pythagoras)
Statistik: Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz: $s = \sqrt{s^2}$
Physik: Fallzeit aus Höhe: $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

Die Quadratwurzel

Die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ ist die Umkehroperation des Quadrierens. Sie fragt: Welche nicht-negative Zahl, mit sich selbst multipliziert, ergibt $a$ ?

Quadratwurzel – Definition

$\sqrt{a} = b \quad \Leftrightarrow \quad b^2 = a \quad (a \geq 0,\ b \geq 0)$

Wichtige Werte (auswendig)	Rechenregel
$\sqrt{1} = 1,\ \sqrt{4} = 2,\ \sqrt{9} = 3$	$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
$\sqrt{16} = 4,\ \sqrt{25} = 5,\ \sqrt{100} = 10$	$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$\sqrt{2} \approx 1{,}414,\ \sqrt{3} \approx 1{,}732$	$(\sqrt{a})^2 = a$

Wichtig: Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist im reellen Zahlenbereich nicht definiert.

Wurzel als Umkehroperation – zum Mitdenken:
Aus

b^2 = a

folgt

b = \sqrt{a}

. Das heißt: Wurzelziehen und Quadrieren heben sich gegenseitig auf. Deshalb gilt

(\sqrt{a})^2 = a

und

\sqrt{a^2} = |a|

n-te Wurzeln

Genauso wie die Quadratwurzel das Quadrieren umkehrt, kehrt die n-te Wurzel das „hoch n" um. Mit der n-ten Wurzel $\sqrt[n]{a}$ sucht man jene Zahl, die $n$ -mal mit sich selbst multipliziert wieder $a$ ergibt:

n-te Wurzel – Definition

$\sqrt[n]{a} = b \quad \Leftrightarrow \quad b^n = a$

Beispiel	Bedeutung
$\sqrt[3]{8} = 2$	weil $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
$\sqrt[3]{27} = 3$	weil $3^3 = 27$
$\sqrt[4]{81} = 3$	weil $3^4 = 81$
$\sqrt[5]{32} = 2$	weil $2^5 = 32$

Der Wert $n$ heißt Wurzelexponent. Bei der Quadratwurzel wird er weggelassen ( $\sqrt{a}$ statt $\sqrt[2]{a}$ ).

Wurzeln als Potenzen schreiben

Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit Bruch-Exponent schreiben. Das ist praktisch, weil man dann die Potenzgesetze direkt auf Wurzeln anwenden kann.

Zusammenhang Wurzel – Potenz

$\sqrt[n]{a} = a^{\tfrac{1}{n}}, \qquad \sqrt[n]{a^m} = a^{\tfrac{m}{n}}, \qquad \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = a^{\tfrac{m}{n}}$

Wurzel-Schreibweise	Potenz-Schreibweise	Beispiel
$\sqrt{a}$	$a^{\tfrac{1}{2}}$	$\sqrt{9} = 9^{\tfrac{1}{2}} = 3$
$\sqrt[3]{a}$	$a^{\tfrac{1}{3}}$	$\sqrt[3]{8} = 8^{\tfrac{1}{3}} = 2$
$\sqrt[n]{a^m}$	$a^{\tfrac{m}{n}}$	$\sqrt[3]{4^2} = 4^{\tfrac{2}{3}}$